Streuung geführter Wellen, die sich durch Rohrbögen ausbreiten, basierend auf Normalmodenausdehnung

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 12488 (2022) Diesen Artikel zitieren

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Die Streuung geführter Wellen, die sich durch Rohrbögen ausbreiten, wird mittels Normalmodenexpansion untersucht. Zunächst wird die Biorthogonalitätsbeziehung für Normalmoden in Rohrbögen abgeleitet, auf deren Grundlage die Verschiebungs- und Spannungsfelder an den Schnittstellen zwischen den geraden und gekrümmten Teilen mit den Normalmoden in beiden Teilen erweitert werden. Basierend auf dem Verschiebungs- und Spannungsfeldkontinuitätsprinzip wird das Streuproblem dann als Eigenproblem einer Transfermatrix betrachtet, deren Lösung die Modenumwandlungen an den Grenzflächen liefert. Es wird eine Fallstudie des auf einen Rohrbogen einfallenden niederfrequenten Longitudinalmodus vorgestellt und es wird festgestellt, dass die vorherrschenden Modenumwandlungen L(0,1)-Reflexion und Modenumwandlung von L(0,1) nach F(1) sind. 1). Es werden auch Finite-Elemente-Simulationen und Experimente durchgeführt. L(0,1)-Biegereflexion und modenkonvertiertes F(1,1) sind deutlich zu beobachten, was gut mit den theoretischen Vorhersagen übereinstimmt.

Da sie hocheffizient ist und Bereiche erkennen kann, die sonst unzugänglich wären, wird die geführte Wellentechnologie1,2,3 häufig zur Inspektion von Pipelines eingesetzt. Praktische Rohrleitungen weisen jedoch immer mehrere Biegungen auf, die die Ausbreitung der einfallenden geführten Welle stören und so die Prüfsignale erheblich verkomplizieren oder sogar unmöglich interpretieren lassen. Daher ist die Streuungsmechanik geführter Wellen, die sich durch Rohrbögen ausbreiten, bei der Inspektion komplizierter Rohrleitungen von wesentlicher Bedeutung.

Aufgrund der gekrümmten Achse eines Rohrbogens ist die Wellenbewegung darin wesentlich komplexer und muss nicht analytisch, sondern numerisch untersucht werden. Demma et al.4 leiteten zunächst die Dispersionskurven und Modenstrukturen geführter Wellen in Rohrbögen mit der Modenanalysemethode5 in kommerzieller Finite-Elemente-Software ab, die Dispersionsbeziehung kann jedoch nur bei diskreten Frequenzen berechnet werden. Hayashi et al.6 berechneten zunächst die Ausbreitungskurven geführter Wellen in Rohrbögen mithilfe der semianalytischen Finite-Elemente-Methode (SAFE)6,7,8,9,10, bei der nur der Rohrquerschnitt diskretisiert werden muss. Dadurch wird ein dreidimensionales (3D) Problem in ein zweidimensionales (2D) Problem umgewandelt und somit Rechenzeit und Speicher gespart. Für den gekrümmten Rohrbereich wird ein gekrümmtes Zylinderkoordinatensystem eingeführt, aus dem die maßgebliche Gleichung der Wellenbewegung in Rohrbögen abgeleitet und anschließend mit der SAFE-Methode gelöst wird. Diese Methode wird auch auf Ausbreitungsberechnungen von spiralförmigen Strukturen8 und Strukturen mit konstanten Querschnitten wie Schienen9 und Vierkantrohren10 angewendet.

Verglichen mit den Dispersionskurven geführter Wellen in geraden Rohren weisen diejenigen für Rohrbögen mehrere unterschiedliche Merkmale auf, wie z. B. Grenzfrequenzen für die Grundmoden [L(0,1) und T(0,1)], Modenaufspaltung11, Modenabstoßung9 und natürliche Fokussierung12. Demma et al.11 untersuchten die Funktion der Modenaufteilung und lieferten die Erklärung, dass sich die ursprünglich identischen Moden in geraden Rohren aufgrund des Verlusts der Achsensymmetrie in Rohrbögen in zwei verschiedene Moden aufspalteten. Modenabstoßung wurde unter anderem auch in den Dispersionskurven für gekrümmte Platten13,14, spiralförmige Wellenleiter8 und Schienen9 beobachtet. Loveday et al.9 untersuchten die Modenabstoßung geführter Wellen in Schienen, woraufhin Wu et al.15 dasselbe in Rohrbögen untersuchten. Es wurde festgestellt, dass eine Modenabstoßung auftritt, wenn sich die zweite Ableitung der Frequenz nach der Wellenzahl der Unendlichkeit nähert, wenn sich die beiden Kurven einander annähern. Es wurde auch festgestellt, dass Modenabstoßung nur zwischen Moden desselben Typs (z. B. symmetrische oder antisymmetrische Moden) und nicht zwischen Moden unterschiedlichen Typs (z. B. symmetrische und antisymmetrische Moden) auftritt.

Obwohl die Ausbreitungseigenschaften geführter Wellen in Rohrbögen gut bekannt sind, ist die entsprechende Streumechanik noch wenig verstanden. Die meisten Studien zur Streumechanik basieren auf numerischen Simulationen16,17,18,19,20 und Experimenten21,22,23,24,25. Mittels 3D-Finite-Elemente-Simulation simulierten Aristegui et al.16 die L(0,2)-Mode, die sich über Rohrbögen ausbreitet, und beobachteten Modenumwandlungen von L(0,2) zu F(1,3) und F(2, 3). Demma et al.11 untersuchten die Streuung der Torsionsmode T(0,1) und stellten fest, dass es wahrscheinlicher ist, dass sie in F(1,2) umgewandelt wird. Basierend auf der Definition laufzeiterhaltender orthogonaler parametrischer Darstellungen gebogener Rohre modellieren Brath et al.12 die Ausbreitung und Streuung geführter Wellen in einer Biegung mit zweidimensionalen Ansätzen. Qi et al.17 und Heinlein et al.18 untersuchten die Reflexion des T(0,1)-Modus von Umfangs- bzw. Axialdefekten in Rohrbögen. Neben der Finite-Elemente-Methode kommen auch andere numerische Methoden zum Einsatz: Rudd et al.19 nutzten die elastodynamische Finite-Integration, um geführte Wellen in Rohrbögen zu simulieren, und Zhou et al.20 verwendeten die Wellen-Finite-Elemente-Methode zur Untersuchung der Streuung Mechanik von Rohrbögen.

Für experimentelle Studien verwendete Nishino21 ein Lasersystem, um geführte Wellen in einem Edelstahlrohr zu erzeugen und zu erfassen, und es wurden Modenumwandlungen in Rohrbögen beobachtet. Kim et al.22 verwendeten ebenfalls ein Lasersystem und beurteilten Wandverdünnungsfehler in Rohrbögen. Verma et al.23 erzeugten den L(0,2)-Modus mit magnetostriktiven Wandlern und untersuchten, wie sich Biegewinkel und -radien auf die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten auswirken. In ähnlicher Weise verwendeten Wu et al.24,25 ein magnetostriktives System, um die Streuung der L(0,1)- und T(0,1)-Moden durch Rohrbögen zu untersuchen. Brath et al.26 kartierten die Rohrbögen experimentell mit einer modellbasierten Fast-Forward-Tomographiemethode mit geführten Wellen.

Basierend auf einer biorthogonalen Beziehung drückt die Methode der Normalmodusexpansion (NME) die Wellenbewegung in einem Wellenleiter mit orthogonal geführten Wellenmoden aus und erleichtert so die Kraftreaktionsanalyse. Ditri et al.27 leiteten zunächst die biorthogonale Beziehung in Hohlzylindern auf der Grundlage des Reziprozitätssatzes28 ab, gefolgt von einer verallgemeinerten Modusanregungsanalyse von Rohren mit angewandter Oberflächentraktion. Genauer gesagt analysierten Ditri et al.29 die Modenanregung von Keil- und Kammwandlern. Mit der gleichen NME-Methode analysierten Zhang et al.30 die Kraftreaktion elastischer Hohlzylinder in Bezug auf magnetostriktive Belastung. Ma et al.31 untersuchten die Anregung torsional geführter Wellen in Rohren durch umgekehrte Scherbelastung. Bakkali et al.32 untersuchten die Streuung an der Verbindungsstelle zwischen geraden und gebogenen Rohren auf der Grundlage der biorthogonalen Beziehung, die einfach aus der biorthogonalen Beziehung in Platten erweitert wird. Kürzlich verwendeten Zhang et al.33 die NME-Methode, um Probleme mit erzwungenen geführten Wellen in Belastungszonen zu untersuchen, und stellten fest, dass die klassische NME-Lösung das Hookesche Gesetz innerhalb der Belastungszone nicht erfüllt. Um diesen Mangel zu beheben, schlugen Zhang et al.34 eine modifizierte NME-Methode vor.

Dabei wird die NME-Methode verwendet, um die Streumechanik geführter Wellen in Rohrbögen zu untersuchen. Im Abschnitt „SAFE-Modellierung der Wellenbewegung in Rohrbögen“ wird die SAFE-Modellierung der Wellenbewegung in Rohrbögen kurz vorgestellt. Anschließend wird die biorthogonale Beziehung der Normalmoden in Rohrbögen im Abschnitt „Biorthogonalitätsbeziehung für Normalmoden in“ abgeleitet Abschnitt „Rohrbögen“. Basierend auf dieser Beziehung wird im Abschnitt „Theoretische Untersuchung der Streuung geführter Wellen an Rohrbögen“ eine theoretische Untersuchung der Streumechanik vorgestellt. Um die theoretische Streustudie weiter zu veranschaulichen, wird im Abschnitt „Fallstudie“ eine Fallstudie eines niederfrequenten Longitudinalmodus vorgestellt, der auf eine Rohrbiegung mit kleinem Radius einfällt. Schließlich wird in den Abschnitten „Numerische Simulationen“ und „Experimentelle Validierung“ über numerische Simulationen bzw. Experimente berichtet, um die theoretischen Vorhersagen zu validieren.

Wie in Abb. 1 gezeigt, wird ein quasizylindrisches Koordinatensystem6 eingeführt, um den gekrümmten Hohlzylinder zu modellieren, wobei die gerade z-Achse in Zylinderkoordinaten durch eine gekrümmte z′-Achse entlang der Krümmung der Biegung ersetzt wird. Somit kann ein beliebiger Punkt (x, y, z) in kartesischen Koordinaten in quasizylindrischen Koordinaten (r, θ, z′) ausgedrückt werden als

wobei R der Biegeradius ist.

Quasi-zylindrisches Koordinatensystem6.

In quasizylindrischen Koordinaten werden die Spannungs-Verschiebungs-Beziehungen umgeschrieben als6

wobei \({\mathbf{u}} = \left[ {u_{r} ,u_{\theta } ,u_{z^{\prime}} } \right]^{T}\) der Verschiebungsvektor ist, \({{\varvec{\upsigma}}} = \left[ {\sigma_{rr} ,\sigma_{\theta \theta } ,\sigma_{\theta z^{\prime}} ,\sigma_{\theta z^{\prime}} ,\sigma_{z^{\prime}r} ,\sigma_{r\theta } } \right]^{T}\) ist der Spannungsvektor,

\({\mathbf{D}}\) ist die konstitutive Gleichung, die definiert ist als

Dabei ist λ das Poisson-Verhältnis und µ der Scherelastizitätsmodul.

Es wird angenommen, dass sich geführte Wellen entlang der gekrümmten Achse ausbreiten, daher nimmt die Verschiebung u in einem Rohrbogen die Form an

Dabei ist k die Wellenzahl, \(\omega\) die Kreisfrequenz und \({\mathbf{U}}\left( {r,\theta } \right)\) die interpolierte Verschiebung im Querschnitt von der Wellenleiter. Da angenommen wird, dass die Wellenbewegung in z′-Richtung harmonisch ist, ist eine Finite-Elemente-Diskretisierung nur über den Querschnitt des Rohrbogens erforderlich, wobei die harmonische Wellenbewegung in z′-Richtung analytisch einbezogen wird. Da nur der Querschnitt und kein Volumen diskretisiert wird und somit ein 3D-Problem in ein 2D-Problem umgewandelt wird, verringert diese Methode die Anzahl der Knoten erheblich und spart somit Rechenzeit und Speicher.

Mit der umgeschriebenen Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung [Gl. (2)] und dem Standardverfahren der Finite-Elemente-Methode folgend, kann die maßgebliche Gleichung der Wellenbewegung in Rohrbögen als4 geschrieben werden

Dabei ist U die Knotenverschiebung, K1, K2 und K3 die Steifigkeitsmatrizen und M die Massenmatrix. Die Steifigkeits- und Massenmatrizen sind alle reell und symmetrisch, außer dass K2 antisymmetrisch ist. Sei \({\mathbf{K}}_{{2}}^{^{\prime}} = i{\mathbf{K}}_{{2}}^{{}}\), dann ist \( {\mathbf{K}}_{{2}}^{^{\prime}}\) ist konjugiert symmetrisch. Somit sind alle Matrizen in Gl. (5) kann als konjugiert symmetrisch betrachtet werden. Die maßgebliche Gleichung von Gl. (5) kann als Eigenwertproblem betrachtet und umgeschrieben werden als

wobei \(\lambda = \omega^{2}\) der Eigenwert und \({{\varvec{\uppsi}}}\) der Eigenvektor ist, der auch die Modenstruktur darstellt. Dann können die Wellenzahl-Frequenz-Dispersionskurven und die entsprechende Modenstruktur durch Lösen dieses Eigenwertproblems berechnet werden.

Die NME-Methode basiert auf einer biorthogonalen Beziehung und drückt die Wellenbewegung mit orthogonal geführten Wellenmoden aus. Die Bi-Orthogonalitätsbeziehung für Normalmoden in Rohrbögen wird in diesem Abschnitt abgeleitet, indem man der Arbeit von Lit. 27 folgt, in der die Bi-Orthogonalitätsbeziehung für ein gerades Rohr abgeleitet wird.

Die Biorthogonalitätsbeziehung für Normalmoden wird aus der komplexen Reziprozitätsbeziehung27 abgeleitet, die Folgendes besagt

wobei V1, \({{\varvec{\upsigma}}}_{1}\) und V2, \({{\varvec{\upsigma}}}_{2}\) die Teilchengeschwindigkeits- und Spannungsfelder sind, bzw. von zwei verschiedenen Wellenbewegungen in einem linear elastischen Wellenleiter, und das Sternchen steht für komplexe Konjugation.

Seien \({\mathbf{V}}_{1}\), \({{\varvec{\upsigma}}}_{1}\) und \({\mathbf{V}}_{2}\ ), \({{\varvec{\upsigma}}}_{2}\) verschiedene Moden in einem Rohrbogen sein. In quasizylindrischen Koordinaten haben sie die Form

Dabei ist k die modale Wellenzahl und V und T die Partikelgeschwindigkeit bzw. Spannungsfelder über dem Querschnitt der Rohrbiegung. Beachten Sie, dass hier und im Folgenden der Kürze halber die harmonische Zeitabhängigkeit \(e^{ - iwt}\) weggelassen wird.

Kombinieren von Gleichungen. (7) und (8) ergibt

Integrieren von Gl. (9) über einer Scheibe im Rohrbogen (das ΔV-Volumen in Abb. 1) ergibt

Unter Verwendung des Divergenzsatzes von Gauß wird das Volumenintegral im ΔV-Volumen zum Flächenintegral über seine Oberfläche, d. h.

wobei \(\partial S_{1}\) und \(\partial S_{2}\) die äußere bzw. innere Oberfläche des ΔV-Volumens sind, \(\partial S_{{z^{\prime}_ {1} }}\) und \(\partial S_{{z^{\prime}_{1} + \Updelta z^{\prime}}}\) sind die Querschnitte des Rohrbogens am z′ Positionen von \(z^{\prime}_{1}\) bzw. \(z^{\prime}_{1} + \Delta z^{\prime}\), jeweils \(\hat{e} _{z^{\prime}}\) ist der Einheitsvektor in z′-Richtung und \(\hat{n}\) ist der Einheitsnormalenvektor, der vom Innenvolumen wegzeigt.

Bei einem freien Rohrbogen erfahren seine Innen- und Außenflächen keine Zugkraft, daher ist der erste Term auf der rechten Seite von Gl. (11) verschwindet. Da außerdem der Term \({\mathbf{V}}_{2}^{*} \cdot {\mathbf{T}}_{1} + {\mathbf{V}}_{1} \cdot { \mathbf{T}}_{2}^{*}\) ist unabhängig von z′, seine Flächenintegrale sind in \(\partial S_{{z^{\prime}_{1} }}\) und \( \partial S_{{z^{\prime}_{1} + \Updelta z^{\prime}}}\) sind gleich. Daher ist Gl. (11) kann geschrieben werden als

Sei \(\Delta z^{\prime} \to 0\), Gl. (12) gilt immer noch und wird

Wo

Gleichung (14) zeigt dies an

Gleichung (15) ist die Biorthogonalitätsbeziehung für Normalmoden in Rohrbögen.

In diesem Unterabschnitt wird die Biorthogonalitätsbeziehung von Gl. (15) wird numerisch validiert, indem ein Edelstahlrohr mit einem Außendurchmesser von 22 mm, einer Dicke von 2 mm und einem Biegeradius von 50 mm untersucht wird. Die Materialeigenschaften des Edelstahlrohrs sind in Tabelle 1 angegeben.

Die Wellenbewegung im Rohrbogen wird mithilfe der SAFE-Methode abgeleitet, die im Abschnitt „SAFE-Modellierung der Wellenbewegung in Rohrbögen“ vorgestellt wird. Die SAFE-Methode wird mit Matlab-Codes implementiert. Der Querschnitt des Rohrbogens wird zunächst mit zwei Elementen in radialer Richtung und 48 Elementen in Umfangsrichtung diskretisiert. Durch die Lösung des Eigenwertproblems [Gl. (6)] wird die Ausbreitungsbeziehung für den Rohrbogen abgeleitet. Die Gruppengeschwindigkeitsverteilungskurven für den Rohrbogen sind in Abb. 2a dargestellt, die für das gerade Rohr in Abb. 2b. Zum Vergleich werden die Moden im Rohrbogen mit denen im geraden Rohr bezeichnet, jedoch mit dem Zusatz C, wie in Abb. 2a dargestellt. Wie in Abb. 2a deutlich wird, sind die besonderen Merkmale der Dispersionskurven für den Rohrbogen (i) die Grenzfrequenzen, die für die TC(0,1)- und LC(0,1)-Moden erkennbar sind, (ii) die Modenspaltungsphänomene, die mit den Rahmen markiert sind, und (iii) die Modenabstoßungsphänomene, die mit den Kreisen markiert sind. Beachten Sie, dass Abb. 2a nur die positiven Ausbreitungsmodi zeigt, aber alle Modi, einschließlich der negativen Ausbreitungs- und Nichtausbreitungsmodi, werden bei der Validierung der Biorthogonalitätsbeziehung untersucht.

Gruppengeschwindigkeitsdispersionskurven für (a) einen Rohrbogen und (b) ein gerades Rohr.

Zur Untersuchung der Biorthogonalitätsbeziehung wird die Anregungsfrequenz von 30 kHz gewählt. Auch durch Lösen von Gl. (6) wird die Modenstruktur (Eigenvektor \({{\varvec{\uppsi}}}\)) abgeleitet. Abbildung 3 zeigt die Verschiebungsverteilung entlang der Umfangsrichtung für (a) \({\text{L}}_{{\text{C}}} {(0,1)}\), (b) \({ \text{T}}_{{\text{C}}} {(0,1)}\), (c) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {( 1,1)}_{1}\), (d) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {(1,1)}_{2}\), (z ) \({\text{F}}_{{\text{C}}} {(2,1)}_{1}\), und (f) \({\text{F}}_{{ \text{C}}} {(2,1)}_{2}\) Modi.

Verschiebungsverteilungen entlang der Umfangsrichtung (die blauen durchgezogenen, roten gepunkteten und schwarzen gestrichelten Linien zeigen die Verschiebungen in radialer, Umfangs- bzw. axialer Richtung).

Der Term \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\) [Gl. (14)] in der Biorthogonalitätsbeziehung ist ein Integral über den Querschnitt, das mithilfe des SAFE-Berechnungsverfahrens berechnet werden kann. Für jedes Element im Querschnitt gilt:

wobei das hochgestellte e das Element bezeichnet und \({{\varvec{\uppsi}}}_{{}}^{e}\) der Verschiebungsvektor der Knoten in diesem Element ist. Das Integral in Gl. (16) kann numerisch als Gaußsches Integral berechnet werden. Dann erhält man durch Summieren der Integrale aller Elemente \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\).

Die \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\)-Werte für die Normalmoden im Rohrbogen werden mit den normalisierten Modenstrukturen \({\overline{\mathbf {\psi }}}_{k}\), der wie folgt definiert ist:

\({\mathbf{P}}_{k,k}\) ist tatsächlich das Doppelte des Poynting-Vektors, der definiert ist als \({\mathbf{P}}{ = }\iint_{s} {{\text {Real}}\left( {{\mathbf{V}}_{{}}^{*} \cdot {\mathbf{T}}} \right)} \cdot \hat{e}_{z^{ \prime}} ds\) und bezeichnet die mittlere Leistung über den Wirkungsquerschnitt. Somit ist diese Normalisierung ein klassischer Normalisierungsprozess, der in Bezug auf die Quadratwurzel des Poynting-Vektors durchgeführt wird. Die \({\mathbf{P}}_{{k_{1} ,k_{2} }}\)-Werte für die verschiedenen Modi sind Null, wodurch die Biorthogonalitätsbeziehung bestätigt wird.

Mit der im letzten Abschnitt abgeleiteten Biorthogonalitätsbeziehung für Rohrbögen können die einfallende Mode und alle möglichen reflektierten Moden mit den Normalmoden in Rohrbögen an den Schnittstellen erweitert werden. Umgekehrt können die übertragenen Moden mit den Normalmoden in geraden Rohren erweitert werden. Unter Berücksichtigung des Verschiebungs- und Spannungskontinuitätsprinzips kann eine Übertragungsmatrix zwischen Streukoeffizienten erstellt werden. Anschließend werden durch Lösen der Transfermatrix die Modenumwandlungen an den Schnittstellen abgeleitet.

Nehmen Sie an, dass sich eine im geraden Teil eines Rohrs angeregte geführte Welle durch einen Rohrbogen ausbreitet, wie in Abb. 4 dargestellt. Für einen Rohrbogen gibt es zwei Grenzflächen auf dem Ausbreitungsweg, markiert durch \(z^{\prime }_{1}\) und \(z^{\prime}_{2}\) in Abb. 4. An diesen Schnittstellen treten komplizierte Modenumwandlungen auf, die verschiedene Moden der geführten Welle streuen und zu erheblicher Verwechslung mit den Testsignalen führen .

Schematische Darstellung einer geführten Welle, die sich durch eine Biegung bewegt.

Für jede Schnittstelle sollten die Verschiebungs- und Spannungsfelder über den Querschnitt konsistent sein, d. h.

wobei der Index i den i-ten Abschnitt des in Abb. 4 gezeigten Rohrs bezeichnet. Gemäß der NME-Methode können die Modenstrukturen an den Grenzflächen in beiden Teilen auch mit Normalmoden erweitert werden, d. h.

wobei s und c das gerade Rohr bzw. das gebogene Rohr bezeichnen, a und b die Ausdehnungskoeffizienten der Normalmoden sind und \({\overline{\mathbf{T}}}\) die normalisierte Spannungsmodenstruktur ist, die in der SAFE-Modellierung ist definiert als

Da die Verschiebungs-Spannungs-Beziehung [Gl. (2) oder (21)] nichtlinear ist, unterscheiden sich die Ausdehnungskoeffizienten der Verschiebungsmodusstrukturen (an) von denen der Spannungsmodusstrukturen (bn). Allerdings kann bn nach der Verschiebungs-Spannungs-Beziehung berechnet werden.

Basierend auf den Biorthogonalitätsbeziehungen sowohl von geraden Rohren27 als auch von Rohrbögen werden die Ausdehnungskoeffizienten berechnet als

Beachten Sie, dass die Normalmoden nicht gleichzeitig zwei verschiedene Regelgleichungen für verschiedene Wellenleiter erfüllen können, da die Normalmoden im Wesentlichen die Lösungen der maßgeblichen Gleichung der Wellenbewegungen in Wellenleitern sind. Nehmen Sie an, dass das Verschiebungsfeld der Grenzfläche gleichzeitig durch Normalmoden in geraden Rohren und Rohrbögen ausgedrückt wird. Dann kann das Spannungsfeld der Grenzfläche durch Normalmoden entweder in geraden Rohren oder in Rohrbögen ausgedrückt werden. Da das Spannungsfeld nach unterschiedlichen Hook-Gesetzen (unterschiedliche L-Operatoren in Gleichung (2)) berechnet wird, kann die Spannungsfeldkontinuität nicht gewährleistet werden. Dies bedeutet, dass das Verschiebungs- und Spannungsfeldkontinuitätsprinzip im NME-Rahmen nicht gilt. Die NME-Methode deckt jedoch immer noch die inhärenten Zusammenhänge zwischen den Moden in geraden Rohren und Rohrbögen auf und liefert wertvolle Informationen über die Modenumwandlungen an Rohrbögen. Daher wird davon ausgegangen, dass in der folgenden Ableitung das Verschiebungs- und Spannungsfeldkontinuitätsprinzip gilt.

An der Grenzfläche \(z^{\prime}_{1}\) kann jede Mode im geraden Abschnitt 1 auch mit Normalmoden im gekrümmten Abschnitt 2 erweitert werden, d. h.

Dann, durch die Kombination der Gleichungen. (19) und (24) und unter Berücksichtigung des Kontinuitätsprinzips von Gl. (18) erhalten wir

Gleichung (26) gibt die Beziehung zwischen den Ausdehnungskoeffizienten an

was in Matrixform ausgedrückt werden kann als

wobei \({\mathbf{A}}_{m} = \left( {a_{c,1}^{t} ,a_{c,2}^{t} , \cdots } \right)\), \({\mathbf{A}}_{l} = \left( {a_{s,1}^{i} ,a_{s,2}^{i} , \cdots ,a_{s,1}^ {r} ,a_{s,2}^{r} , \cdots } \right)\), und \({\mathbf{G}}_{lm}\) ist die Transfermatrix definiert als

Alle Modi, einschließlich der einfallenden positiven Ausbreitungsmodi, der übertragenden positiven Ausbreitungsmodi, der reflektierenden negativen Ausbreitungsmodi und der sich nicht ausbreitenden Modi, sollten bei der Berechnung berücksichtigt werden. Daher werden die hochgestellten Zeichen i, r und t eingeführt, um den Einfalls-, Reflexions- bzw. Sendemodus zu bezeichnen.

Umgekehrt erhalten wir, indem wir jeden Modus in Rohrabschnitt 2 mit Normalmodi in Rohrabschnitt 1 erweitern und dem gleichen Ableitungsverfahren folgen

Kombinieren von Gleichungen. (29) und (30) ergibt

was impliziert, dass \({\mathbf{A}}_{l}\) der Eigenvektor von \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime }\) bezüglich des Eigenwerts von Eins. Durch Lösen des Eigenproblems von \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime}\ ergeben sich also die Entwicklungskoeffizienten \({\mathbf{A} }_{l}\) der geführten Wellen im Rohrabschnitt 1 abgeleitet werden und \({\mathbf{A}}_{m}\) nach Gl. berechnet werden. (28).

Bei praktischen Untersuchungen wird üblicherweise eine einzelne Mode im Rohrabschnitt 1 angeregt. Dann setzt man \(a_{s,1}^{i}\) in \({\mathbf{A}}_{l}\) zu eins sein und \({\mathbf{A}}_{l}\) und \({\mathbf{A}}_{m}\) berechnen, sind die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten der geführten Wellen, die sich über die erste Grenzfläche ausbreiten abgeleitet.

Betrachtet man das akustische Feld im geraden oder gekrümmten Abschnitt als linear, kann der Multimode-Einfall als mehrere Einmoden-Einfälle behandelt werden. Dies kann durch separates Berechnen der Streuung jedes Einmoden-Einfalls und anschließende lineare Überlagerung dieser streuenden akustischen Felder erfolgen .

Da an der ersten Schnittstelle mehrere Moden gestreut sind, sollte für die zweite Schnittstelle ein Multimode-Einfall in Betracht gezogen werden. Wie bereits erwähnt, werden Multimode-Inzidenzen als mehrere Singlemode-Inzidenzen betrachtet. Für jeden Vorfallmodus j gilt:

wobei \({\mathbf{A}}_{n,j} = \left( {a_{s,1}^{t,j} ,a_{s,2}^{t,j} , \cdots } \right)\) sind die Expansionskoeffizienten der Normalmoden im geraden Abschnitt 3 und \({\mathbf{A}}_{m,j} = \left( {a_{c}^{i,j} ,a_ {c,1}^{r,j} ,a_{c,2}^{r,j} , \cdots } \right)\) sind diejenigen im gekrümmten Abschnitt 2. Auch durch Lösen des Eigenproblems von \({ \mathbf{G}}_{mn,j} {\mathbf{G}}_{mn,j} ^{\prime}\), die Übertragungskoeffizienten \({\mathbf{A}}_{n,j }\) und Reflexionskoeffizienten \(\left( {a_{c,1}^{r,j} ,a_{c,2}^{r,j} , \cdots } \right)\) des j-ten Vorfalls Modenstreuung an der Schnittstelle \(z^{\prime}_{2}\) werden abgeleitet.

Durch Überlagerung aller akustischen Streufelder erhält man die Streuung an der Grenzfläche \(z^{\prime}_{2}\). Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten sind

Die an der \(z^{\prime}_{2}\)-Grenzfläche reflektierten Moden treffen dann negativ auf die \(z^{\prime}_{1}\)-Grenzfläche ein und erzwingen so deren Reflexionen. Da die Reflexionen zwischen den Grenzflächen \(z^{\prime}_{1}\) und \(z^{\prime}_{2}\) in den meisten Fällen eher klein sind, werden sie zur Vereinfachung vernachlässigt.

Die Kombination der Streufelder der Grenzflächen \(z^{\prime}_{1}\) und \(z^{\prime}_{2}\) ergibt die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten (\({\mathbf{A }}_{l}\) und \({\mathbf{A}}_{n}\)) der geführten Wellen, die sich durch den Rohrbogen bewegen.

In diesem Abschnitt betrachten wir das Beispiel des longitudinalen niederfrequenten achsensymmetrischen L(0,1)-Modus in einem Rohr mit kleinem Durchmesser und einer Biegung. Die Testpipe ist dieselbe wie die, die im Abschnitt „Numerische Validierung für die Biorthogonalitätsbeziehung“ verwendet wird. Nehmen Sie an, dass die L(0,1)-Mode mit einer Anregungsfrequenz von 30 kHz im geraden Teil angeregt wird und dann den Rohrbogen durchläuft. Die Modenstrukturen sowohl im geraden Rohr als auch im Rohrbogen werden mithilfe der SAFE-Methode berechnet, die im Abschnitt „Numerische Validierung für die Biorthogonalitätsbeziehung“ eingeführt wurde.

Zunächst wird die Streuung an der Grenzfläche \(z^{\prime}_{1}\) untersucht. Die einfallende L(0,1)-Mode und alle möglichen Reflexionsmoden werden mit den normalisierten Moden im Rohrbogen gemäß den Biorthogonalitätsbeziehungen erweitert [Gl. (14)], und dann wird die Transfermatrix \({\mathbf{G}}_{lm}\) gebildet. Theoretisch sollten die sich nicht ausbreitenden reflektierenden und übertragenden Modi in die Berechnung von \({\mathbf{G}}_{lm}\) einbezogen werden. Da jedoch im praktischen Testszenario nur die sich ausbreitenden Moden von Bedeutung sind, vereinfachen wir die Berechnung von \({\mathbf{G}}_{lm}\), indem wir die sich nicht ausbreitenden Moden ignorieren. Die Eingabemodi sind der einfallende L(0,1) und der reflektierende L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 und F(1). ,1)2 Modi. Die Ausgangsübertragungsmodi sind die Modi LC(0,1), FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1,1)1 und FC(1,1)2. F(1,1)1 und F(1,1)2 sind die gleichen Modi, weil sie die gleiche Wellenzahl haben. Der Unterschied zwischen ihnen besteht in der Umfangsausrichtung der Verschiebungsfelder, wie in Abb. 5 dargestellt. Dies gilt auch für F(2,1)1 und F(2,1)2.

Verschiebungsverteilungen von (a) F(1,1)1 und (b) F(1,1)2 entlang der Umfangsrichtung (die blauen durchgezogenen, roten gepunkteten und schwarzen gestrichelten Linien zeigen die Verschiebungen in der radialen, umfangsmäßigen, bzw. axiale Richtungen).

Die Lösung des Eigenproblems von \({\mathbf{G}}_{lm} {\mathbf{G}}_{lm} ^{\prime}\) ergibt die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten:

\({\mathbf{A}}_{l}\) ist ein Eigenvektor von \({\mathbf{G}}_{lm}{\mathbf{G}}_{lm}^{\prime}\) entsprechend dem Eigenwert von 0,2892 − 0,9633i, der theoretisch eins sein sollte.

Nimmt man die Absolutwerte von \({\mathbf{A}}_{l}\) und \({\mathbf{A}}_{m}\) ergibt

Aus den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten der \(z^{\prime}_{1}\)-Schnittstelle schließen wir Folgendes: (i) ~ 10 % des einfallenden L(0,1)-Modus werden reflektiert, während andere Reflexionen sind eher gering; (ii) der größte Teil des einfallenden L(0,1)-Modus wird in den LC(0,1)-Modus umgewandelt, ein Teil wird in den FC(1,1)2-Modus umgewandelt und alle anderen Modusumwandlungen sind vernachlässigbar.

Für die Schnittstelle \(z^{\prime}_{2}\) gibt es drei Einfallsmodi. Zur Vereinfachung werden die Moden mit kleinen Amplituden ignoriert und daher hier nur die dominanten LC(0,1)- und FC(1,1)2-Moden betrachtet. Erweitert man die LC(0,1)- und FC(1,1)2-Moden mit den normalisierten Moden im geraden Abschnitt 3, erhält man die Transfermatrizen \({\mathbf{G}}_{mn,1}\) und \({ \mathbf{G}}_{mn,2}\). Die Eingabemodi für LC(0,1) sind der einfallende LC(0,1) und der reflektierende LC(0,1), FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1,1) 1 und FC(1,1)2-Modi. Die Eingabemodi für FC(1,1)2 sind der einfallende FC(1,1)2 und der reflektierende LC(0,1), FC(2,1)1, FC(2,1)2, FC(1, 1)1 und FC(1,1)2 Modi. Die Ausgabemodi für beide Fälle sind die Modi L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 und F(1,1)2.

Lösen der Eigenprobleme von \({\mathbf{G}}_{mn,1}{\mathbf{G}}_{mn,1}^{\prime}\) und \({\mathbf{G}}_ {mn,2} {\mathbf{G}}_{mn,2}^{\prime}\) gibt die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten für die Einfälle LC(0,1) und FC(1,1)2 an:

die den Eigenwerten 0,2847 − 0,9351i und 0,0519 + 0,9121i entsprechen.

Die Kombination dieser Streufelder und der Transmissionskoeffizienten der \(z^{\prime}_{1}\)-Schnittstelle ergibt die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten der \(z^{\prime}_{2}\)-Schnittstelle:

Somit ergeben \({\mathbf{A}}_{l}\) und \({\mathbf{A}}_{n}\) die Reflexionskoeffizienten (\({\mathbf{A}}_{r }\)) und Übertragungskoeffizienten (\({\mathbf{A}}_{t}\)) des Rohrbogens bei einer Frequenz von 30 kHz. Nimmt man die absoluten Werte von \({\mathbf{A}}_{r}\) und \({\mathbf{A}}_{t}\) ergibt

wobei die Reflexionskoeffizienten den reflektierenden Modi L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 und F(1,1)2 entsprechen, und Die Übertragungskoeffizienten entsprechen den Übertragungsmodi L(0,1), F(2,1)1, F(2,1)2, F(1,1)1 und F(1,1)2.

Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten zeigen, dass bei einheitsnormalisiertem L(0,1)-Einfall ~ 10 % des L(0,1)-Modus reflektiert und mehr als 100 % davon durchgelassen werden, was bedeutet, dass das Gesetz der Energieerhaltung gilt ist hier kaputt. Dies liegt daran, dass das Prinzip der Verschiebung und Spannungskonsistenz an den Schnittstellen im NME-Rahmen nicht gilt.

Obwohl die Streukoeffizienten nicht exakt sind, werden inhärente Verbindungen zwischen Normalmoden in geraden Rohren und Rohrbögen aufgedeckt und die Hauptmodenumwandlungen an Rohrbögen werden korrekt vorhergesagt. In diesem Fall kann gefolgert werden, dass der größte Teil des einfallenden L(0,1)-Modus durch den Rohrbogen verläuft, ein Teil davon reflektiert und ein Teil in den FC(1,1)2-Modus umgewandelt wird.

Die Entwicklung der Streukoeffizienten des L(0,1)-Einfalls in Bezug auf die Frequenz ist in Abb. 6 dargestellt. Wie in Abb. 6 gezeigt, sind die L(0,1)-Biegereflexion und die Modenumwandlung von L(0,1 ) bis F(1,1) nehmen mit abnehmender Frequenz deutlich zu, was mit den in früheren Referenzen berichteten experimentellen Ergebnissen übereinstimmt. Der Übertragungskoeffizient L(0,1) ist immer größer als 1 und nähert sich mit zunehmender Frequenz dem Wert 1 an.

Entwicklung der Koeffizienten in Bezug auf die Frequenz.

Um die Ergebnisse der Fallstudie im Abschnitt „Fallstudie“ zu validieren, wurden numerische Simulationen mit der kommerziellen Finite-Elemente-Analysesoftware COMSOL Multiphysics 5.6 durchgeführt. Die Abmessungen und Materialeigenschaften des Testrohrs entsprachen denen im Abschnitt „Numerische Validierung der Biorthogonalitätsbeziehung“. Das Rohr war in der Mitte um einen Winkel von 90° gebogen. Abbildung 7 zeigt die Finite-Elemente-Modellierung des Rohrs, das mit zwei Elementen in radialer Richtung und 48 Elementen in Umfangsrichtung vernetzt wurde. Der axiale Maschenabstand wurde auf 2 mm festgelegt und entsprechend dem Maschenkriterium von mehr als 20 Knoten für die kürzeste interessierende Wellenlänge ausgewählt. Der Zeitschritt wurde gemäß dem Kriterium \(\Delta t < 1/\left( {20f_{\max } } \right)\) auf 1 µs festgelegt, wobei fmax die maximale Frequenz innerhalb einer Bandbreite halber Leistung ist.

Finite-Elemente-Modellierung eines Testrohrs.

Ein mit der Hann-Fensterfunktion modulierter sinusförmiger Tonstoß mit fünf Zyklen und einer Anregungsfrequenz von 30 kHz wurde auf den Querschnitt eines Endes des Rohrs in axialer Richtung angewendet. Die Beobachtungspunkte wurden am anderen Ende des Rohrs angebracht, wie in Abb. 7 dargestellt. Abbildung 8 zeigt die Zeitverläufe der axialen Verschiebung, die am Beobachtungspunkt aufgezeichnet wurden, der sich auf der Innenseite des Rohrbogens befindet (siehe Abb. 7): ( a) ist die vollständige Zeitspur; (b) ist die Zeitspur achsensymmetrischer Moden (in diesem Fall die L(0,1)-Mode), die durch Mittelung der Verschiebung aller Knoten der Außenfläche auf dem Querschnitt erhalten wird; (c) ist die Zeitspur des F(1,1)-Modus, die durch Subtrahieren der Verschiebung des Beobachtungspunkts von der seines symmetrischen Gegenstücks abgeleitet wird.

Am Beobachtungspunkt aufgezeichnete Zeitspuren der axialen Verschiebung.

Abbildung 8 zeigt, dass das aufgezeichnete Signal hauptsächlich in Wellenformen der L(0,1)- und F(1,1)-Moden zerlegt ist, was darauf hinweist, dass keine anderen bemerkenswerten Modenumwandlungen stattfinden. In Abb. 8b sind signifikante L(0,1)-Biegereflexionen zu beobachten. Das Amplitudenverhältnis der ersten Biegereflexion [Wellenform 1 in Abb. 8b] zur ersten Endreflexion [Wellenform 2 in Abb. 8b] beträgt ~ 0,2. Tatsächlich besteht die erste Biegereflexion aus zwei L(0,1)-Biegereflexionen mit unterschiedlichen Ausbreitungswegen, aber gleicher Flugzeit: Eine breitet sich vom Anregungsende zur Biegung aus, wird zum Anregungsende zurückreflektiert und dann Ausbreitung durch die Biegung zum Empfangsende; Der andere breitet sich zunächst durch die Biegung zum empfangenden Ende aus, kehrt am Ende um und wird dann von der Rohrbiegung reflektiert. Daher werden ~ 10 % des einfallenden L(0,1)-Modus durch die Biegung reflektiert. Der umgewandelte F(1,1)-Modus scheint im Vergleich zu den L(0,1)-Biegereflexionen eher klein zu sein, was im Widerspruch zur theoretischen Vorhersage steht, dass ein erheblicher Teil des L(0,1)-Modus in den F( 1,1) Modus. Dies liegt daran, dass der F(1,1)-Modus dominante Verschiebungen in Radial- und Umfangsrichtung aufweist, jedoch eine viel geringere axiale Verschiebung (siehe Abb. 5).

Zusammenfassend stimmen die numerischen Simulationsergebnisse gut mit den theoretischen Vorhersagen überein. Obwohl die theoretisch abgeleiteten Streukoeffizienten nicht exakt sind, werden die dominanten Modenumwandlungen korrekt erhalten.

In diesem Abschnitt wird die Streuung der L(0,1)-Mode, die sich durch eine Biegung bewegt, experimentell untersucht. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 9 dargestellt. Das Testrohr war das gleiche wie das, das im Abschnitt „Numerische Validierung für die Biorthogonalitätsbeziehung“ verwendet wurde; Dieses Edelstahlrohr wurde in der Mitte durch Warmbiegen um einen Winkel von 90° gebogen. Ein 30-kHz-Tonstoß mit fünf Zyklen wurde von einem Arbiträrfunktionsgenerator (Rigol DG1022) erzeugt und anschließend von einem Hochspannungsleistungsverstärker (Aigtek ATA-3080) verstärkt. Das verstärkte Signal wurde dann an den Sendewandler gesendet, um die longitudinal geführten Wellen im Rohr anzuregen. Die schwachen geführten Wellensignale wurden vom Empfangswandler erfasst und vorverstärkt und hochpassgefiltert, bevor sie vom Datenerfassungssystem (NI PXIe-1082) erfasst wurden.

Experimentelle Anlage.

Die Sende- und Empfangswandler wurden am selben Ende des Rohrs platziert. Es wurden magnetostriktive Patchwandler eingesetzt. Vier vormagnetisierte Eisen-Kobalt-Legierungsstreifen mit einer Länge von 70 mm, einer Breite von 5 mm und einer Dicke von 0,15 mm wurden gleichmäßig über den Umfang verteilt und in Längsrichtung mit Epoxidkleber am Rohr befestigt. Über die Patches wurde eine 40-Finger-Magnetspule gewickelt, um die Signale zu senden und zu empfangen.

Abbildung 10 zeigt die experimentellen Ergebnisse. L(0,1)-Biegereflexionen sind in der Mitte zwischen zwei aufeinanderfolgenden Endreflexionen erkennbar, da sich die Biegung in der Mitte des Rohrs befand. Es wird auch modenkonvertiertes F(1,1) beobachtet, was einfach durch seine Flugzeit bestätigt werden kann. Der Zeitunterschied zwischen der L(0,1)-Endreflexion (Wellenform 1 in Abb. 10) und der darauffolgenden F(1,1)-Wellenform (Wellenform 2 in Abb. 10) beträgt ~ 0,33 ms. Bei einer Hin- und Rückfahrt durchläuft der Vorfall L(0,1) die Kurve zweimal (vor und zurück), und daher erfolgt die Modenumwandlung von L(0,1) nach F(1,1) zweimal. Wellenform 2 ist der gestreute F(1,1)-Modus, wenn sich der L(0,1)-Modus zurück ausbreitet. Gemäß den Dispersionskurven (siehe Abb. 2) beträgt der theoretische Zeitunterschied zwischen den Wellenformen 1 und 2 0,3 ms, was gut mit dem experimentellen Ergebnis übereinstimmt.

Geführte Wellenprüfung von Rohren mit Biegung.

Das Amplitudenverhältnis der ersten L(0,1)-Biegereflexion in Abb. 10 zur ersten L(0,1)-Endreflexion beträgt ~ 0,2. In dieser experimentellen Impuls-Echo-Konfiguration ist die erste Biegereflexion in Abb. 10 tatsächlich die zweite Biegereflexion, da die erste Biegereflexion durch den Anfangsimpuls maskiert wird und nicht unterschieden werden kann. Somit besteht diese erste L(0,1)-Biegereflexion auch aus zwei L(0,1)-Biegereflexionen. Daher werden ~ 10 % des einfallenden L(0,1)-Modus durch die Biegung reflektiert.

Zusammenfassend ist das experimentelle Ergebnis, dass bemerkenswerte reflektierende L(0,1)- und modenkonvertierte F(1,1)-Moden an der Biegung gestreut werden und ~ 10 % der einfallenden L(0,1)-Mode von der Biegung reflektiert werden stimmt gut mit den numerischen Simulationen überein und bestätigt damit die theoretischen Vorhersagen.

Dabei wurde die Streuung geführter Wellen untersucht, die sich über Rohrbögen ausbreiten. Zunächst wurde die Biorthogonalitätsbeziehung der Normalmoden in Rohrbögen abgeleitet. Basierend auf dieser Beziehung und unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Verschiebungs- und Spannungsfelder an den Schnittstellen zwischen den geraden und gekrümmten Teilen eines Rohrs konsistent sein sollten, wurde das Streuproblem als Eigenproblem einer Übertragungsmatrix betrachtet. Durch die Lösung dieses Eigenproblems wurden die Modenumwandlungen an den Grenzflächen abgeleitet. Die Kombination der Modenumwandlungen an zwei Grenzflächen einer Biegung ergab die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten der geführten Wellen, die sich durch die Biegung ausbreiteten. Es wurde eine Fallstudie einer niederfrequenten longitudinalen geführten Welle (der L(0,1)-Mode) vorgestellt, die sich über einen Rohrbogen ausbreitet. Darüber hinaus wurden numerische Simulationen und Experimente durchgeführt, um die theoretischen Vorhersagen zu validieren.

Da die Normalmoden im Wesentlichen die Lösungen der maßgeblichen Gleichung der Wellenbewegungen in Wellenleitern sind, können die Normalmoden nicht gleichzeitig zwei verschiedene maßgebliche Gleichungen für verschiedene Wellenleiter erfüllen, was darauf hindeutet, dass das Prinzip konsistenter Verschiebungs- und Spannungsfelder im NME-Rahmen nicht gilt. Für den Fall des Einfalls des L(0,1)-Modus lautet die theoretische Vorhersage, dass ~ 10 % des einfallenden Modus reflektiert werden, mehr als 100 % durchgelassen werden und ein bemerkenswerter Teil in den F(1,1)-Modus umgewandelt wird offensichtlich im Widerspruch zum Gesetz der Energieeinsparung. Die NME-basierte Ableitung deckt jedoch immer noch die inhärenten Zusammenhänge zwischen Normalmoden in geraden Rohren und Rohrbögen auf und liefert wertvolle Informationen über die Modenumwandlungen an Rohrbögen. Durch numerische Simulationen und Experimente wird nachgewiesen, dass in diesem Fall die L(0,1)-Reflexion und die L(0,1)-F(1,1)-Umwandlung die dominanten Modenumwandlungen sind.

Die während der aktuellen Studie verwendeten und/oder analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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Diese Arbeit wird von der National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 51709216) unterstützt.

School of Naval Architecture, Ocean and Energy Power Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan, 430063, China

Wenjun Wu, Hao Dong und Shangyu Zhang

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WW leitete die Biorthogonalitätsbeziehungen von Moden in Rohrbögen ab, untersuchte die Modenumwandlung an Biegungen und war maßgeblich an der Erstellung des Manuskripts beteiligt. HD führte die Experimente durch. SZ führte die numerischen Simulationen durch. Alle Autoren haben das endgültige Manuskript gelesen und genehmigt.

Korrespondenz mit Wenjun Wu, Hao Dong oder Shangyu Zhang.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

Springer Nature bleibt neutral hinsichtlich der Zuständigkeitsansprüche in veröffentlichten Karten und institutionellen Zugehörigkeiten.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Wu, W., Dong, H. & Zhang, S. Streuung geführter Wellen, die sich durch Rohrbögen ausbreiten, basierend auf Normalmodenausdehnung. Sci Rep 12, 12488 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-16708-z

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Eingegangen: 15. März 2022

Angenommen: 14. Juli 2022

Veröffentlicht: 21. Juli 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-16708-z

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